Muuuita Matemática

Trazendo muiiiiita Matemática hahahaha

Definição de Fatoração

A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores.

Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:

Na sequência vemos como tratar cada um destes tipos de fatoração em particular.

A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação, por exemplo.

Fator Comum: ax + bx = x(a + b)

A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.

No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em evidência:

Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a expressão quociente da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses:

Exemplos

Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)

No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos.

Vejamos o exemplo abaixo:

Note que o fator x é comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y é comum aos dois últimos termos, então podemos colocá-los em evidência:

Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em comum e que também pode ser colocado em evidência:

Assim sendo:

Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os cálculos somando 4 com 6, mas o foco aqui é a fatoração em si:

No lugar dos fatores x e y, poderíamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são comuns ao fatores 4x e4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:

E ao colocarmos o fator (x + y) em evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido anteriormente, apenas com uma mudança na ordem dos fatores, que como sabemos não altera o produto:

Exemplos

Diferença de Dois Quadrados: a² - b² = (a + b)(a - b)

Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.

Vejamos este exemplo na sequência:

Visto que a² - b² = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:

Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).

Logo:

Exemplos

Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a² + 2ab + b² = (a + b)²

Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.

Como fatorar o trinômio abaixo?

Se o pudermos escrever como a² + 2ab + b² estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)².

Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x² no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.

Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a² + 2ab + b² devemos chegar a uma variação do trinômio original:

Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a² + 2ab + b² termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.

Quando substituímos a por x em a² chegamos ao x² original.

Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 _. x _. 7, equivalente ao 14x original.

E finalmente substituindo b por 7 em b² chegamos a 7², equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.

Como foi possível escrever x² + 14x + 49 na forma a² + 2ab + b², então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:

Portanto:

Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x² + 14x + 49 em a² + 2ab + b² levaria a um polinômio diferente do original. Por exemplo, se o trinômio fosse x² + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir do segundo termo obtido via substituição de a e b que é 14x, portanto não teríamos um trinômio quadrado perfeito.

Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente tínhamos um trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal verificação quando no enunciado da questão estiver explícito que os polinômios realmente são trinômios quadrados perfeitos.

Exemplos

Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a² - 2ab + b² = (a - b)²

Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença.

Vejamos este outro trinômio:

Como 2x é a raiz quadrada de 4x², do primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir, substituindo a por 2x e b por 5 temos:

Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um trinômio quadrado perfeito:

Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na formaa² - 2ab + b² = (a - b)²:

Logo:

Exemplos

Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}

Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z₊:

Z₊ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z_-:

Z_- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z₊ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*₊:

Z*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Z*₊ = N*

- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z_- excluindo o zero. Representa-se por Z*_-.

Z*_- = {... -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.

Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)

Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.

Divisibilidade

Técnicas de divisibilidade

Divisão por 2

Um número é divisível por dois quando o seu algarismo das unidades simples (o último algarismo da direita para a esquerda) for par, ou ainda quando esse algarismo for zero.

• 656 → divisível por 2
• 14698 → divisível por 2
• 95647 → não-divisível por 2

SITUAÇÃO-PROBLEMA: Paula, após arcar com as despesas mensais, conseguiu juntar R$ 324,00 para dividir igualmente entre suas duas filhas, Marta e Gabrielly. O valor obtido com a divisão ela depositará na poupança de cada uma delas. Qual o valor do depósito que será realizado em cada poupança?

Analisando a situação: Precisamos saber se o número 324 poderá ser dividido igualmente em duas partes (por 2). Segundo a técnica da “divisão por 2” este número é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, ou seja, par. Sendo assim, podemos prosseguir com a resolução do problema.

Dividindo 324 por 2, obteremos exatos 162, atestando a técnica de divisibilidade descrita acima.

Conclusão: cada poupança receberá um depósito de R$ 162,00.

Divisão por 3

Um número é divisível por três quando a soma de seus algarismos absolutos for também divisível por três.

• 855 → 8+5+5 = 18, como 18 é divisível por 3, podemos afirmar que 855 também será.

No exemplo acima, ainda poderemos somar 1 a 8 para facilitar a resposta: 1+8 = 9, sendo que 9 também é divisível por 3, atestamos que 855 também será.

• 25 848 → 2+5+8+4+8 = 27 = 2+7 = 9  →     O número 25848 é divisível por 3.
• 274       → 2+7+4 = 13 = 1+3 = 4              →     O número 274 não é divisível por 3.

Obs.: podemos realizar múltiplas adições até  que sobre apenas um algarismo como resultado destas adições. Isso facilitará a nossa resposta. Em casos em que na primeira soma já se saiba se o número inteiro é divisível por 3, não precisaremos prosseguir com as adições.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: Um fazendeiro, ao falecer, deixou de herança 1026 hectares de terra para seus três filhos. Na hora de dividir a terra entre os três, um dos jovens lançou a seguinte interrogação: irmãos será possível dividir essa quantidade de terra igualmente entre nós três? Vamos respondê-lo com os nossos conhecimentos.

Analisando a situação: o que temos que saber é se o número 1026 é divisível por 3. Simples, utilizando a técnica da “divisão por 3, temos que:

• 1026 = 1+0+2+6 = 9, como 9 é divisível por 3, 1026 também será.

Conclusão: a resposta ao irmão que realizou o questionamento seria “sim, é possível dividir 1026 hectares igualmente entre os três”.

Divisão por 4

Um número é divisível por quatro quando o número formado pelos seus últimos algarismos (unidade simples e dezena simples) forem também divisíveis por 4 ou terminarem em 00 (zero, zero).

• 128 → 28:4 = 7 → como o agrupamento dos dois últimos algarismos foi um número divisível por 4, o número 128 também será divisível por 4.
• 7900 → como o número 7900 termina em 00, ele é divisível por 4.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: do pequeno sítio de Dona Zefinha foram colhidas 1200 laranjas. Para vendê-las, ela quer distribui-las igualmente em quatro caixotes. Será possível fazer essa distribuição?

Analisando a situação: para sabermos se é possível distribuir igualmente em quatro caixotes 1200 laranjas, é preciso somente saber se o número 1200 é divisível por 4. Pela técnica de “divisão por 4”, temos:

O número 1200 termina em 00, portanto é divisível por 4

1200:4 = 300 → Cada caixa conterá 300 laranjas.

Conclusão: é possível distribuir as 1200 laranjas igualmente nos quatro caixotes.

Divisão por 5

Um número é divisível por cinco quando terminar em zero ou cinco.

• 25 680 → Como esse número termina em zero, ele é divisível por cinco;
• 152 → Como esse número não termina nem em zero nem em cinco, ele não é divisível por cinco;
• 5685 → Por terminar em cinco, esse número é divisível por cinco.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: Num bingo, cinco ganhadores conseguiram acertar as pedras premiadas. O prêmio, um valor de R$ 3525,00, relativo a um percentual de arrecadação pela venda das cartelas terá, desta forma, que ser dividido igualmente entre os cinco ganhadores. Qual será o valor recebido por cada um deles como resultado desta divisão?

Analisando a situação: o número 3525, por terminar em cinco, é divisível por 5. Sendo assim, basta efetuarmos a divisão do valor total do prêmio (3525) pelo número de ganhadores (5) → 3525:5 = 705.

Conclusão: Cada ganhador receberá um valor de R$ 705,00.

Divisão por 6

Um número é divisível por seis quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

• 5286 → 5+2+8+6 = 21 (divisível por 3); termina em algarismo par (6) (divisível por 2). Portanto 5286 é também divisível por 6.
• 957 → 9+5+7 = 21 (divisível por 3);  não termina em algarismo par. Portanto 957 não é divisível por 6.

SITUAÇÃO-PROBLEMA: gostaria de dividir minhas 226 figurinhas igualmente entre eu e meus cinco colegas de escola, para que pudéssemos brincar de colar figurinhas. A minha dúvida é: será que com essa quantidade de figurinhas conseguirei realizar esta divisão de forma exata?

Analisando a situação: devemos saber se o número 226 é divisível por 6, pois “eu”, mais os “meus” cinco colegas “formamos” seis pessoas. Vejamos a possibilidade de divisão: 2+2+6 = 10 (não é divisível por 3); termina em algarismo par (divisível por 2). Este número não é divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

Conclusão: O número 226 não é divisível por 6, portanto “eu” não conseguirei fazer a divisão exata das minhas figurinhas nas condições do problema.

MMC

Mínimo Múltiplo Comum

• MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

        Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
        24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro.

        Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

        Exemplo: os múltiplos de 7 são:
                            7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ...  =  0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

        Observações importantes:
        1) Um número tem infinitos múltiplos
        2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

• MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

            Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

            Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
            Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...
            Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
            Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...

            Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

• CÁLCULO DO M.M.C.

            Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

    1º) decompomos os números em fatores primos
    2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

                   12   =  2  x  2  x  3
                   30   =          2  x  3   x  5
        m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5

        Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
        12 = 2²  x  3
        30 = 2   x  3  x  5 
        m.m.c (12,30)  = 2²  x  3  x  5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

   

• PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)             Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

• PROPRIEDADE DO M.M.C.

         Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados.

         Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Razão

Dizemos que a razão entre dois números a e b é a relação a/b, onde a e b são números reais com b ≠ 0. Dessa forma, concluímos que razão é uma fração, a qual é utilizada no intuito de comparar grandezas. A razão pode ser representada por uma fração, um número na forma decimal, porcentagem ou até mesmo por uma divisão. Por exemplo: 

3 : 5 = 3/5 = 0,6 = 60% 

1 : 10 = 1/10 = 0,1 = 10% 

Para entendermos a ideia principal de uma razão, observe os exemplos a seguir: 

Exemplo 1 

Em uma turma de preparatório para o vestibular, o número de mulheres é igual a 50 e o número de homens é 40. Determine: 

a) a razão entre o número de homens e o número de mulheres. 
Temos 40 homens para 50 mulheres, então: 40/50 que simplificado fica 4/5. Concluímos que para cada cinco mulheres existem quatro homens. 

b) a razão entre o número de homens e de mulheres na forma de porcentagem. 
40/50 = 0,8 = 80% 

Exemplo 2 

Em uma prova de testes, Carlos acertou 28 questões e errou 12. Escreva na forma de fração: 

a) a razão entre o número de acertos e o número de erros. 
28/12, simplificando fica 7/3 

b) a razão entre o número de erros e o número de acertos. 
12/28 simplificando temos 3/7 

c) a razão entre o número de acertos e o número total de questões. 
28/40 simplificando temos 7/10 


Exemplo 3 

Em um jogo de basquete, a equipe de Pedro e de José marcou 60 pontos, dos quais Pedro marcou 20 pontos e José marcou 15. Com base nessas informações determine: 

a) a razão entre o número de pontos marcados por José e o número de pontos marcados por Pedro. 
15/20 simplificando temos 3/4 


b) razão entre o número de pontos marcados por Pedro e o número de pontos marcados pela equipe. 
20/60 que simplificado fica 1/3 


Na resolução dos exemplos você pôde notar que a ordem dos números no cálculo de uma razão é muito importante. Dessa forma, cada um recebe um nome. O numerador é denominado antecedente e o denominador recebe o nome de consequente. 

Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Números proporcionais

Os números proporcionais são divididos em diretamente e inversamente proporcionais, e são utilizados em situações envolvendo regra de sociedade, abordando as divisões de lucros, prejuízos, sociedade em investimentos entre outras situações de repartição de capitais. 

Números diretamente proporcionais 

Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são diretamente proporcionais quando a igualdade entre as respectivas razões possuem o mesmo valor. Dessa forma, concluímos que: 
 . 
O resultado das divisões é denominado coeficiente de proporcionalidade. E no caso das proporções, também é válida a seguinte propriedade:
  . 

Exemplo 1 

Vamos verificar se os números 2, 5, 8 e 10 são diretamente proporcionais aos números 6, 15, 24 e 30 respectivamente. Para isso, vamos aplicar a regra da igualdade entre as razões. 

Após simplificar as frações à forma irredutível, verificamos que a igualdade entre as razões foi comprovada. Dessa forma, dizemos que os números nessa ordem são proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é igual a 1/3. 

Exemplo 2 

Vamos determinar os valores de x e y, considerando que os números 6, 8, 16 são diretamente proporcionais aos números 30, x, y.

Os valores de x e y são, respectivamente, 40 e 80. 

Regra de três

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

        Passos utilizados numa regra de três simples:

        1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

        2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

        3º) Montar a proporção e resolver a equação.

        Exemplos:

        1) Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

        Solução: montando a tabela:

Área (m2)	Energia (Wh)
1,2	400
1,5	x

        Identificação do tipo de relação:

        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
        Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
        Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

Juros

No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:

J = C * i * t, onde

J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)

M = C + J

M = montante final
C = capital
J = juros

Exemplo 1 

Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?

Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses

J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240

M = C + j
M = 1200 + 240
M = 1440

O montante produzido será de R$ 1.440,00.

Expressões algébricas

Veja alguns exemplos de expressões algébricas:

2x – 5
3a + 2y
x² + 7x
5 + x – (5x – 2)
10y – 10x
a² – 2ab + b²

As expressões algébricas podem ser utilizadas para representar situações problemas, como as propostas a seguir:

1 – Determine a expressão que representa o perímetro das seguintes figuras:
Perímetro: soma dos lados de qualquer polígono.



4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x
12x + 2

2x + 6 + 3x – 2 + x + 8
6x + 12


2 – O dobro de um número adicionado a 20: 2x + 20

3 – A diferença entre x e y: x – y

4 – O triplo de um número qualquer subtraído do quádruplo do número: 3x – 4x

5 – Represente algebricamente a área do retângulo a seguir:

2x * (3x+5)
6x² + 10x

Potenciação

Definição e resolução

Potência é todo número na forma aⁿ, com a ≠ 0.

a é a base, n é o expoente e aⁿ é a potência.

aⁿ = a x a x a x a x...a (n vezes)

Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a 1, a⁰ = 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a¹ = a.

Exemplos

2¹ = 2                          54⁰ = 1                              4⁴ = 256                             5³ = 125

Potência de base racional

Para resolver uma potência cuja base é um número fracionário, elevamos tanto o numerador quanto o denominador da fração ao expoente dado.

Exemplo

Potência de expoente negativo

A ideia de inverso é utilizada para solucionar potências de expoente negativo, transformamos numerador em denominador, e vice-versa, logo após, tornamos o expoente positivo.

Exemplos

Multiplicação de potências de mesma base

Resolvemos a multiplicação de potências de mesma base conservando uma das bases e adicionando os expoentes.

a­^m . aⁿ  =  a^{m + n}

Exemplos

Divisão de potências de mesma base

Toda divisão de potências de mesma base, com esta diferente de zero, pode ser resolvida conservando uma das bases e subtraindo os expoentes.

a^m : aⁿ = a^{m – n}, com a ≠ 0.

Exemplos

Multiplicação de fatores elevados ao mesmo expoente

Para o produto de dois ou mais fatores elevados ao mesmo expoente, elevamos cada um dos fatores ao expoente dado na questão.

(a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

Exemplos

(5 . 6)⁴ → 5⁴ . 6⁴                                         (0,2 . 1,3)³ → (0,2)³ . (1,3)³

Divisão de expoente igual

Aqui segue-se o mesmo critério dado na propriedade anterior: eleva-se o dividendo e o divisor ao mesmo expoente.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Exemplos

(9 : 8)⁵ = 9⁵ : 8⁵                                                 (2,3 : 0,1)² = (2,3)² : (0,1)²

Potência de potência

Quando elevamos uma determinada potência à outra potência, temos uma potência de potência. Para resolvê-la, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Exemplos

(2³)⁴ → 2^{3 . 4} = 2¹²                                             [(1/5)²]⁵ → (1/5)^{2 . 5} = (1/5)¹⁰

Potência de base 10

A potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números que contenham n fatores 10, facilitando assim sua representação.

Exemplos

10⁵ = 100000 (5 zeros)
10⁷ = 10000000 (7 zeros)
10³ = 1000 (3 zeros)

Nesse tipo de potência, quanto o expoente for positivo, ele indica a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1.

10^-2 = 0,01 (2 casas decimais)
10^-5 = 0,00001 (5 casas decimais)

Aqui, como o expoente é negativo, ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1.

Radiciação

Definições

Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.

Exemplos

Raiz com índice par

Para um número real a positivo, com n sendo um número natural par e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se  = b, então bⁿ = a, onde a é o radicando, n é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com .

Nenhum valor de a negativo (-a) tem definição nesse caso.

Observação: quando o índice não aparecer no radical, isso indica que n = 2 e teremos uma raiz quadrada.

Exemplos:

Raiz com índice ímpar

Sendo a um número real, positivo ou negativo, com m sendo um número natural ímpar e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se  , então b^m = a, onde a é o radicando, m é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com  .

Nesse caso é possível obtermos raízes negativas dentro do conjunto dos números reais (ℝ).

Exemplos:

Propriedades

1.      Para o radicando que tenha, como resultado de uma fatoração, expoente igual a seu índice, então este radicando é igual à raiz procurada.
Exemplos:

2.      Podemos dividir o radicando e o índice por um mesmo número real, desde que este seja diferente de zero e maior que um, e divisor comum do radicando e do índice.

Exemplos:

3.      Para resolvermos a raiz m-esima de uma raiz n-ésima, multiplicamos os índices entre si mantendo intacto o radical interno.
Exemplos:

4.      A raiz n-ésima de um produto é igual ao produto das raízes n-ésimas.Exemplos:

5.      A raiz n-ésima de um quociente (divisão) de a por b é igual ao quociente entre as raízes n-ésimas.
Exemplos:

Sistemas de equação

Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. 

Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo: 



Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. 
Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 

Método da substituição 
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como: 

Dado o sistema  , enumeramos as equações. 



Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 

x + y = 20 
x = 20 – y 

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 

 3x   +   4 y   = 72 
3 (20 – y) + 4y = 72 
 60-3y + 4y  = 72 
 -3y + 4y   =   72 – 60
       y = 12 

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação 
x = 20 – y. 
x = 20 – y 
x = 20 – 12 
x = 8 

Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) 

Método da adição 

Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. 

Dado o sistema: 



Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. 



Agora, o sistema fica assim: 



Adicionando as duas equações: 

       - 3x – 3y = - 60 
+     3x + 4y = 72 
                 y   = 12 

Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 

x + y = 20 
x + 12 = 20 
x = 20 – 12 
x = 8 

Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). 

Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo.

Transformação de unidades

    No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:

    Observe as seguintes transformações:

• transformar 2,36 m² em mm².

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

    Para transformar m² em mm² (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).

    2,36 x 1.000.000  =  2.360.000 mm²

---

• transformar 580,2 dam² em km².

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

    Para transformar dam² em km² (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).

    580,2 : 10.000  =  0,05802 km²

---

    Pratique! Tente resolver esses exercícios:

    1) Transforme 8,37 dm² em mm²     (R: 83.700 mm²)
    2) Transforme 3,1416 m² em cm²     (R: 31.416 cm²)
    3) Transforme 2,14 m² em dam²     (R: 0,0214 dam²)
    4) Calcule 40m x 25m     (R: 1.000 m²)

Triângulos Semelhantes

Analisamos se um triângulo é semelhante  ao outro caso a razão entre eles seja a mema.

No triângulo existem três casos básicos de semelhanças, são eles:

·                     Lado, lado e lado, você sabe que esses triângulos são semelhantes, pois eles apresentam lados e não demonstra os ângulos internos. Exemplo:

 Nesse triângulo o lado AB=2x, AC=2x e CB=2y.

Nesse outro triângulo o lado AB=x, AC=x e CB=y.

Eles são semelhantes, portanto todos os lados apresenta uma mesma proporção.

·                     Lado, ângulo e lado, para serem semelhantes esses triângulos devem apresentar um ângulo e os dois lados do triângulo que se originan-se desse ângulo. Veja o exemplo:

Sendo AB = 8/7 cm e AC = 1 cm.

Sendo AB = 8 cm e AC = 7 cm.

Aviso: os triângulos não estão desenhados correspondentemente as medidas indicadas.

Nesse caso os triângulos são semelhantes pois apresentam um ângulo correspondente igual e dois lados que apresentam a mesma razão.

·                     O ultimo caso de semelhança é o caso ângulo e ângulo. Para um triângulo ser proporcional os seus ângulos correspondentes devem ser iguais, ou seja, se você sabe dois ângulos correspondentes e iguais de um triângulo voce pode afirmar que o triângulo é semelhante a outro que apresenta os mesmos ângulos. Exemplo:

Esses dois triângulos são semelhantes pois apresentam dois ângulos iguais.

Tipo de triângulo	Regra de semelhança
Equilátero	Todo triângulo equilátero e semelhante a outro equilátero, pois possuem os mesmos ângulos.
Isósceles	Temos que analizar-los para ver se são triângulos semelhantes.
Retângulo	Temos que analizar-los para ver se são triângulos semelhantes.

Relações métricas

Veja que no exemplo a seguir a básica relação para um triângulo ser semelhante a outro. 

Triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, hip² = c² + c².

 

Relações métricas no triângulo retângulo

Observe os triângulos:


Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:


h² = mn           b² = ma               c² = an              bc = ah

Teorema de Tales

 Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:

Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:

O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:

“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Exemplo 1
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6

Determinando o valor de x:


AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6



Exemplo 2
Determine o valor de x na figura a seguir: